分治法

归并排序是完全遵循分治策略的排序算法。什么是分治法？

分治法，即将原问题分解为几个规模较小的子问题，递归的求解这些子问题，之后再合并这些子问题的解，最终得到原问题的解。

归并排序

归并排序遵照分治法的思想，可分为三个步骤：

• 分解，将大小为\(n\)的数列分为两个大小为\(\frac{n}{2}\)的子数列
• 使用归并排序递归排序子数列
• 合并已排序的子数列，完成原数列的排序

同时，我们知道递归不可能无线递归下去，当分解到基本情形的时候，我们可以直接获得该问题的答案，这也是递归的出口。如果一个问题永远无法递归到基本情形，则分治法不适用。

归并排序(merge sort)的基本情形为：子数列的大小为1时，此时数列天生已排序好，开始向上回溯。

上图可见，排序数列\((38,27,43,3,9,82,10)\)，我们不断的分拆数列，直至每个子数列大小为1。然后，再将子数列两两归并，逐步回溯。最终，完成排序。

关键伪代码

以上对归并的描述可以总结以下步骤：

merge-sort(A):        if(A.length >= 1)            array A divide into array L and array R            merge-sort(L);            merge-sort(R);            merge(L,R);

可以看到,核心思想就是将数组Adivide成两个子数组，在对子数组进行归并。然后merge L和R两个子数组。

merge的核心伪代码如下：

for k in (1...A.length):    if L[i] <= R[j]        A[k] = L[i];        ++i;    else        L[i] >= R[j]        A[k] = R[j];        ++j;

merge方法也是归并排序的核心部分，但是他的思想却很简单。

由于子数组L和R都是有序的，因此只需要逐个对比两个数组的元素，其中小的元素放进数组A中，直到数组A被填满为止。

代码实现(Java)

/** * @author: luzj * @date: * @description: 归并排序 * 大致思想： * 0 将数组A拆成B和C * 1 对B和C单独排序 * 2 合并B和C成一个有序数组 * 3 B和C的排序方式同A，此为递归的基础 */public class MergeSort {    /**     * 排序     * @param A     * @param p     * @param r     */    void sort(Integer[] A, int p, int r) {        if (p < r) {//开始回归的基本条件，确保最小数组大小为1结束递归            int q = Math.floorDiv(p + r, 2);            sort(A, p, q);            sort(A, q + 1, r);            merge(A, p, q, r);        }    }    /**     * 合并两个子数组     * 其实是将左右两个已经排序的子数组，进行原址排序     * @param A     * @param p 左边子数组的边界     * @param q 左右子数组的分界点     * @param r 右边子数组的边界     * 该方法的增长率为：O(n)     */    void merge(Integer[] A, int p, int q, int r) {        int n1 = q - p + 1;//左边子数组的元素个数        int n2 = r - q; //右边子数组的元素个数        //将A数组拆成两个数组来装        Integer[] L = new Integer[n1 + 1];        Integer[] R = new Integer[n2 + 1];        for (int i = 0; i < n1; i++) {            L[i] = A[p + i];        }        for (int j = 0; j < n2; j++) {            R[j] = A[q + j + 1];        }        //哨兵，当某个子数组已经遍历完后还接着遍历时，哨兵将很好的阻止越界并且将遍历转向另一个子数组        L[n1] = Integer.MAX_VALUE;        R[n2] = Integer.MAX_VALUE;        int i = 0, j = 0;        //重排，每次都进行比较，将较小的装进A数组(如果是降序排列，则塞较大的)        for (int k = p; k <= r; k++) {            if (L[i] <= R[j]) {                A[k] = L[i];                i++;            } else {                A[k] = R[j];                j++;            }        }    }    public static void main(String[] args) {        Integer[] A = {5,2,4,7,1,3,2,6};        new MergeSort().sort(A,0,A.length-1);        for (int i = 0; i < A.length; i++) {            System.out.print(A[i]+" ");        }    }}

时间复杂度

归并排序的时间复杂度为:\(nlg(n)\)。

我们可以大致算一笔账：

每一次数组将会分裂成两份，即从中间一分为二，最终形成一个二叉树。那么这个二叉树多少层呢，答案是\(log_2{n}+1\)。

同时注意到，每一次递归的时间复杂度都来自merge(A) 方法，而merge方法复杂度为\(c*{n_i}\).每一层都有\(c({n_1+n_2+...+n_i})\)，即\(c*(n)\)的复杂度。因此，可以看到每一层不管有多少个节点，他的复杂度都是\(c*{n}\).

最终可得，merger-sort的复杂度为:\(O(nlg({n}))\)。

这里还有一个结论，就是所有基于比较的排序方法，他的性能上限都是\(O(n*lg{(n)})\)，因此快排的平均时间复杂度也不超过这个数。在《算法导论》中，有一个基于决策树的精彩论述，有兴趣的同学可以研读一下。

小结

归并排序使用分治法，时间复杂度为\(nlg(n)\)。

参考

• 《》